В конце 80-х годов на одной из научных конференций, проводившихся Институтом философии в Звенигороде и посвященной проблеме научной рациональности, с очень интересным докладом выступил В.А.Смирнов. Обсуждая вопрос, как возможна историческая смена типов рациональности, он высказал мысль о необходимости для решения этого вопроса привлекать к анализу культурно-исторический контекст науки. Такой подход представляется вполне оправданным. В своем докладе я остановлюсь на одном историческом эпизоде, который подтверждает справедливость этого подхода.
Речь пойдет о генезисе новоевропейской науки, в частности, о новом решении проблемы непрерывности, предложенном Галилеем, решении, связанном с пересмотром античного и средневекового понимания непрерывности и послужившем толчком к созданию математики бесконечно-малых.
Принцип непрерывности, как он был разработан в античной математике и физике, исключал допущение актуальной бесконечности. Проблема континуума возникла в античности в связи с открытием несоизмеримости, с одной стороны, и апориями элеата Зенона, с другой. Пытаясь решить эту проблему, крупнейший математик античности Евдокс пытается доказать возможность установления отношений также и несоизмеримых величин. Пока не была открыта несоизмеримость, отношения выражались целыми числами: для определения отношения двух величин нужно было меньшую взять столько раз, сколько необходимо, чтобы она сравнялась с большей. Но отношения несоизмеримых величин невозможно выразить в виде пропорции, члены которой будут целыми числами. Чтобы установить отношения несоизмеримых величин, Евдокс предложил такой выход: если для двух величин a и b, где a больше b, можно подобрать такое число n, чтобы было справедливо неравенство nb>a, то величины a и b находятся между собой в некотором отношении.
Открытие Евдокса получило впоследствии название принципа отношений, сформулированного Евклидом в четвертом определении V книги “Начал”: “Говорят, что величины имеют отношение между собой, если, взятые кратко, они могут превзойти друг друга” (Евклид. Начала. Кн. I-IV. С. 142). В противном случае величины не находятся ни в каком отношении, что и в самом деле имеет место там, где речь идет о бесконечно малых величинах, которые были известны грекам, например, в виде “роговидных” углов, образованных прямой и кривой или двумя кривыми: роговидный угол не находится ни в каком отношении с прямолинейными, – он меньше любого прямолинейного угла.
В полном согласии с Евдоксом решает проблему непрерывности и Аристотель. Вот Аристотелева формулировка принципа отношений: “Если, взявши от конечной величины определенную часть, снова взять ее в той же пропорции, т.е. не ту же самую величину, которая взята от целого, то конечную величину нельзя пройти до конца; если же настолько увеличить пропорцию, чтобы брать всегда одну и ту же величину, то пройти можно, так как конечную величину всегда можно исчерпать любой определенной величиной” (Физика, III. 206в). Аристотель здесь показывает, что альтернативой принципа отношений будет апория Зенона “Дихотомия”: именно эта апория доказывает, что никакую конечную величину нельзя пройти до конца, так как она состоит из актуально бесконечного числа бесконечно малых (неделимых) элементов.