Поиск простых чисел — одна из самых парадоксальных проблем математики. Ученые пытались решить ее на протяжении нескольких тысячелетий, но, обрастая новыми версиями и гипотезами, эта загадка по-прежнему остается неразгаданной. Появление простых чисел не подчинено какой-либо системе: они возникают в ряду натуральных чисел самопроизвольно, игнорируя все попытки математиков выявить закономерности в их последовательности. Эта книга позволит читателю проследить эволюцию научных представлений с древнейших времен до наших дней и познакомит с самыми любопытными теориями поиска простых чисел.
Предисловие
С точки зрения арифметики большинство чисел отличается, так сказать, «хорошим поведением». Четные числа всегда чередуются с нечетными, каждое третье число всегда кратно трем, квадраты чисел подчиняются определенному закону. Поэтому мы можем составить длинный ряд чисел, которые ведут себя так, как им положено, независимо от длины этого ряда и величины самих чисел. Но простые числа похожи на неуправляемую толпу. Они появляются там, где им захочется, без предварительного предупреждения, на первый взгляд, совершенно хаотично, без какой-либо закономерности. А самое главное — их нельзя проигнорировать: простые числа необходимы для арифметики и для математики в целом.
Простые числа — не такая уж сложная тема, на изучение которой потребовалось бы много лет; фактически ее проходят еще в школе. Чтобы понять, что такое простое число, нужно лишь уметь считать и владеть четырьмя основными арифметическими действиями. Тем не менее, простые числа были и продолжают оставаться одной из самых удивительных проблем в истории науки. Тот, кто хочет заниматься математикой, но не владеет теорией простых чисел, ничего не сможет добиться, так как они присутствуют везде — иногда затаившись, как в засаде, готовые появиться когда их меньше всего ожидаешь. С неизбежностью появления простых чисел невозможно не считаться.
Простые числа важны не только в математике. Многие даже не догадываются о том, что они играют важную роль в нашей повседневной жизни, например, в банковских операциях или в обеспечении защиты персональных компьютеров и конфиденциальности разговоров по мобильному телефону. Они являются краеугольным камнем компьютерной безопасности.
В метафорическом смысле простые числа — как вредоносный вирус: если он захватывает ум математика, его очень трудно искоренить. Евклид, Ферма, Эйлер, Гаусс, Риман, Рамануджан и многие другие известные математики стали его жертвой.
Хотя некоторым и удалось более-менее излечиться, все они страдали навязчивой идеей найти «волшебную формулу», которая определяет, какое простое число будет следовать за определенным натуральным числом. Однако никому еще не удалось открыть это правило.
Глава 1
На заре арифметики
Как и у всего остального, у простых чисел тоже есть происхождение: свое начало они берут в системах счета. Простые числа появились одновременно с натуральными, но очень быстро выделились в виде особого набора специальных чисел.
Нет ничего более натурального, чем натуральные числа.
«Бог создал первые десять чисел, остальное — дело рук человека». Эти слова сказаны немецким математиком
Леопольдом Кронекером (1823–1891)
про натуральные числа, которые мы используем при счете: 1, 2, 3, 4, 5 и т. д. Кронекер имел в виду, что могучее здание математики построено на самой простой, элементарной арифметике. Если не углубляться в религию, то утверждение о том, что Бог дал нам первые десять чисел, означает, что эти числа всегда были частью природы.
Без особой натяжки можно предположить, что необходимость в счете появилась, когда человечество перешло от охоты и собирательства к земледелию и животноводству. При этом урожай и скот перестали быть продуктами немедленного потребления, а превратились в товары, которые нужно считать, регистрировать и продавать.
Это создало потребность в конкретных способах счета. Представим себе пастуха, который выгоняет стадо на пастбище. Он должен быть уверен, что в загон вернется то же количество животных, которое он выпускал. Без системы счета самым естественным решением будет взять горсть гальки и класть один камень в сумку каждый раз, как из загона выходит одна овца. Затем, по возвращении, он должен вынимать один камень для каждой входящей в загон овцы, чтобы таким образом убедиться в том, что все овцы целы. Это, конечно, примитивная система подсчета. Кстати, слово подсчет (
calculation
) происходит от латинского слова calculus, означающего «галька, камешки». Такая галечная система не требует понятия числа. В терминах современной математики мы бы сказали, что пастух устанавливает взаимно однозначное (один к одному) соответствие между стадом овец и множеством камней.
